Análisis de supervivencia
El análisis de supervivencia se basa en el estudio de variables de vida, por lo que se utilizan variables aleatorias con valores positivos. El nombre se debe a que en Medicina, se llevan a cabo estudios con pacientes en los cuales es de interés estimar el tiempo de supervivencia a una enfermedad.
El análisis de superivencia es usado en otras disciplinas aunque tiene otros objetivos, tales como:
- Entomología: Modela el tiempo en que fallecen insectos al aplicárseles un insecticida.
- Meteorología: Tiempo en que aparecen los huracanes.
- Actuaría: Tiempo entre incidentes.
- Ingeniería: (conocido como confiabilidad) Tiempo en que aparece una falla.
Aunque es común estudiar variables aleatorias relacionadas al tiempo entre eventos, es posible estudiar otras variables relacionadas, por ejemplo distancia o cualquier variable que tome valores positivos. A la ocurrencia de los eventos de interes se les llama también como fallos (failures).
Un problema común en datos de tiempo de vida es la presencia de censura y/o truncamiento. Debido a esta problemática, es necesario desarrollar teoría y métodos que puedan lidiar con este problema, en la sección 3 se estudiará este problema de forma detallada.
Modelos de tiempo de vida¶
En análisis de supervivencia se usan conceptos que hasta ahora no habían sido descritos, aunque son similares a los que se usan en probabilidad. A continuación se dará una breve definición de ellos.
Función de Supervivencia
Sea \(T\) una variable aleatoria con soporte en los reales positivos.
\(S(t) = P(T > t) = 1 - F_T(t)\)
La función de supervivencia se interpreta como la probabilidad de que un individuo sobreviva más que tiempo que \(t\).
Esta definición es muy importante y frecuentemente el objetivo será estimarla.
Función de riesgo
Sea \(T\) una variable aleatoria positiva. La función de riesgo \(h(t)\) se define como la probabilidad de un individuo muera en un intervalo de tiempo pequeño dado que ha sobrevivido al tiempo \(t\).
Si \(T\) es continua, entonces \(h(t) = \frac{f(t)}{S(t)}=-\frac{\partial}{\partial t}\log S(t)\).
En diversas aplicaciones, por ejemplo para determinar la garantía de un producto, es de interés conocer la función de riesgo,
Función de riesgo acumulado
La función de riesgo acumulado \(H(t)\) se define como:
\(H(t)=\int_{0}^{t}h(s)ds=-\log S(t) \)
Por lo que \(S(t) = e^{-H(t)}\)
Relación entre la función de supervivencia y de riesgo acumulado
Si \(T\) es una variable aleatoria discreta, entonces
\( \begin{align} S(t) &= P(T > t)\\ & = P(T > a_1) \times P(T>a_2|T>a_1)\times \dots \times P(T>a_k|T>a_{k-1})\\ & = (1-h_1)\times \dots \times (1-h_k)\\ & = \prod_{a_i \le t} (1-h_i) \end{align} \)
Inferencia con datos de tiempo de vida¶
Como se mencionó anteriormente, es de interés conocer las funciones de riesgo y supervivencia, por lo que se tienen que estimar dichas funciones a partir de los datos de tiempo de vida.
Sin embargo es común que los datos presenten censura y/o truncamiento, por lo que es importante estudiar sus características.
Inferencia paramétrica con datos censurados¶
Se puede usar el método de estimación por máxima verosimilitud para estimar los parámetros y con ellos encontrar las funciones de interés.
Sin embargo si se tienen datos censurados, se debe tomar en cuanta dicha información, por lo que la función de verosimilitud será distinta a la que se tuviera información completa.